인공지능수학 - (4) 고윳값과 고유벡터

- 고윳값과 고유벡터

행렬 A의 고유벡터 x는 0이 아니므로 비가역행렬이어야 한다.

즉 위 식의 행렬식=0이다. 이를 A의 특성다항식이라고 한다.

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고윳값과 고유벡터는 전치행렬일 때는 값을 고윳값을 가진다.

또한 A의 k승일 때도 고윳값도 k승한 값이고, 고유벡터는 그대로 x이다.

A의 역행렬의 고윳값 역시 역수한 값과 같다.

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서로 다른 고윳값을 가지는 고유벡터들은 서로 선형독립이다.

즉 선형독립의 특성을 갖는다.

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두 행렬이 서로 닮음관계라면, 두 행렬의 모든 고윳값은 서로 같다.

 

- 대각행렬

행렬 중에서 대각선을 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 행렬을 말한다.

이는 또한 양쪽에 P를 곱하여 AP=PD도 성립한다.

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동치 즉 어느 쪽을 사용하여도 같은 결과를 가져오는 것을 의미한다.

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즉 행렬 A가 서로 다른 고유벡터를 가지며 선형독립이기에

이 행렬은 대각화 가능한 행렬이라는 것을 증명할 수 있다.

 

- 대칭행렬

정사각행렬 A와 그 행렬을 대칭한 행렬이 같은 행렬을 말한다.

여기서 직교행렬이란 P의 역행렬과 P의 전치행렬을 만족하는 가역행렬 P를 말한다.