인공지능수학 - (8) 볼록함수

- 볼록집합

볼록함수를 배우기 위해서는 볼록함수의 정의역인 볼록집합을 알아야 한다.

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여기서 직선에 관한 집합을 아핀집합이라 한다.

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선분을 포함하는 집합은 볼록집합이라고 한다.

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이로서 이제 볼록함수를 정의할 수 있다.

 

- 볼록함수

b의 조건에 부등호가 왼쪽이 크거나 같으면 오목함수이다.

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볼록집합일 때 b의 식을 이용하여 함수가 볼록인지 오목인지 구분할 수 있어야 한다.

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- 일계 조건

위는 한 번 미분가능할 때의 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

참고로 오목함수의 경우는 b의 식이 오른쪽이 더 크거나 같다.

하지만 보통 부등식이라서 실제로 사용하기에는 어렵다.

그래서 이계 조건을 사용한다.

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- 이계 조건

오목함수의 경우는 b의 값이 음의 준정부호 행렬이다.

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- 젠센의 부등식

f(x)가 볼록함수일 때 위의 식이 성립한다.